Home 大学院先进理工系科学研究科 中野 浩嗣
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(注: ＊は半角@に置き換えてください)
発表のポイント
- 量子アニーラーで順列型組合せ最適化問題を解く場合に用いられる順列生成イジングモデルのサイズと要求分解能を大幅に削減する設計手法(dual-matrix domain-wall法)を開発しました。
- これまでよく用いられてきた単纯な辞苍别-丑辞迟法によりn要素の顺列生成を行うイジングモデルのサイズはn3-n2个であり、また要求分解能は2n-4でした。
- dual-matrix domain-wall法を用いると、サイズを6n2-8n、要求分解能を2に、それぞれ大幅に削减することができます。
- 300頂点の無向グラフに対する巡回セールスマン問題にdual-matrix domain-wall法を適用した場合、それを量子アニーラーで解くためのイジングモデルのサイズを従来のone-hot法より25分の１以下に削減することができました。
概要
広島大学大学院先進理工系科学研究科の中野浩嗣教授らの研究チームは、株式会社NTTデータグループと共同で、順列生成イジングモデルのサイズと要求分解能を大幅に削減する設計手法(dual-matrix domain-wall法)を開発しました。イジングモデル(＊1)と呼ばれる複数のスピン変数の二次式は、量子アニーラー(＊2)に埋め込み(＊3)、量子焼きなまし(アニーリング)を行うことにより、イジングモデルの評価値をなるべく最小化するようなスピン変数へのスピン値の割り当てを求めることができます。量子アニーラーの規模と計算精度に制限があるため、イジングモデルのサイズと要求分解能(＊4)をなるべく小さくすることが望まれています。
巡回セールスマン问题(＊5)などの顺列型组合わせ最适化问题を量子アニーラーで解くには、まず、顺列を生成する顺列生成イジングモデルを构成要素として含むイジングモデルに変换します。n要素0,1,…,n-1の顺列を生成するイジングモデルではスピン変数からなるn×nの行列S=(si,j)を用い、辞苍别-丑辞迟表现(＊6)で顺列を表します。顺列のi番目が要素jのときにsi,j=+1となります。図1は5×5行列による顺列の辞苍别-丑辞迟表现の例で、巡回セールスマン问题の解の访问顺摆3,1,0,2,4闭を表しています。
スピン変数の行列S=(si,j )が、顺列を表す辞苍别-丑辞迟表现を格纳していることの必要十分条件は、行列Sのすべての行と列が+1を１个ずつ格纳していることです。このような条件を満たす行列Sを最適解としてもつイジングモデルを順列生成イジングモデルと呼びます。幅広く用いられている従来のone-hot法では、 各行、各列の合計がすべて-(n-2)であることを利用する次の式を用いています。
この数式を展开して得られる二次式が顺列生成イジングモデルとなります．このイジングモデルのサイズはn3-n2であり、要求分解能は2n-4となります。
図1: 巡回セールスマン问题の解摆3,1,0,2,4闭とそれを辞苍别-丑辞迟表现で表す大きさ５?5の行列
今回開発したdual-matrix domain-wall法によるイジングモデルでは、サイズを6n2-12n+4，要求分解能を2に、それぞれ大幅に削减しました。これにより、顺列型组合わせ最适化问题をイジングモデルに変换し、量子アニーラーで解を求める场合に、より大きな问题を高い精度で取り扱うことができるようになります。
背景
社会における多くの问题は、制约の下で复数の选択肢から最适な组合せを见つける组合せ最适化问题として考えることができます。その中でも、顺列型组合せ最适化问题は、n!通りある顺列の中から最适なものを选ぶ问题で、巡回セールスマン问题や作业顺の最适化など、多くのアプリケーションがあります。しかし、n!通りの膨大な组合せの中から最适なものを见つけるのは容易ではなく、膨大な计算时间を要します。
近年、量子効果を利用して组合せ最适化问题の解を求める量子アニーラーが注目されています。量子アニーラーを用いて组合せ最适化问题を解く手顺は以下の通りです。まず、组合せ最适化问题を等価なイジングモデルに変换します。次に、変换されたイジングモデルを量子アニーラーに埋め込みます。このステップでは、量子アニーラーがイジングモデルの评価値を最小とする解を探索する準备を行います。その后、一定时间の量子焼きなまし(アニーリング)を繰り返し行うことにより、イジングモデルの评価値を最小化する解を探索します。最终的に、求めたイジングモデルの解を逆変换することで、もとの组合せ最适化问题の解が得られます。この手法により、従来の古典的なアルゴリズムでは扱いが难しかった复雑な组合せ最适化问题の解を、量子アニーラーが高速かつ効率的に求めることが期待されています。
顺列型组合せ最适化问题を量子アニーラーで解くためには、n×nの行列S=(si,j ) を用いて、順列をone-hotで表現する方法が幅広く用いられています。しかし、各行各列の合計が-(n-2)となる条件を利用する従来の辞苍别-丑辞迟法では、顺列生成イジングモデルのサイズがn3-n2と非常に多くなります。その结果、埋め込みに用いる量子アニーラーのセル数が膨大なものとなり、取り扱える顺列型组合せ最适化问题のサイズ(nの値)が小さく制限されていました。また、要求分解能は2n-4であるため、nが大きくなると量子アニーラーの计算精度の限界を超え、最适解を得ることが困难になります。
整数を表すのにdomain-wall表現(＊7)を用いれば、 one-hot表現に比べて、イジングモデルのサイズを削減できることが知られています。QUBOモデル(＊8)でdomain-wall表現を順列生成に適用する方法が提案されています(Philippe Codognet: Domain-Wall / Unary Encoding in QUBO for Permutation Problems. Proc. of QCE 2022: 167-173)．この方法(all-different domain-wall法)をイジングモデルに適用すると、サイズと要求分解能は、それぞれ1/2 n3-3/2 nとn-1に小さくすることができますが、约半分の削减にとどまっています。
研究成果の内容
今回開発したdual-matrix domain-wall法は、順列生成のためのイジングモデルであり、one-hot表現で順列を表すスピン変数のn×n行列S=(si,j)に加え、n×(n-1)行列A=(ai,j )と(n-1)×n行列B=(bi,j)を追加します。変数の个数が约3倍増加することになりますが、イジングモデルのサイズを6n2-8n個に、要求分解能を2に、それぞれ大幅に削减することができます。
図１の順列のone-hot表現において、各行がone-hot表現であるとみなした場合、得られる整数列 [3,1,0,2,4]は順列を表しています。一方、各列をone-hot表現とみなして得られる整数列[2,1,4,0,3]は逆順列(＊9)を表しているとみなせます．dual-matrix domain-wall法では、行列Aの各行が诲辞尘补颈苍-飞补濒濒表现で整数を表し、それを并べた整数列が顺列を表します．同様に、行列Bの各列が诲辞尘补颈苍-飞补濒濒表现で整数を表し、それを并べた整数列が逆顺列を表します．それらが行列Sの辞苍别-丑辞迟表现による顺列、逆顺列とそれぞれ一致している场合に最适解になるように、イジングモデルを次のように设计します。
まず、次の3つの行列を导入します。
．?S=(?si,j)：?si,j=si,j+1（大きさn×n）
．?A=(?ai,j)：?ai,j=ai,j-1-ai,j（大きさn×(n-1))
．?B=(?bi,j)：?bi,j=bi-1,j-bi,j（大きさ(n-1)×n）
ただし、ai,-1とb-1,jは+1，ai,nとbn,jは-1とします．
これらの行列はスピン変数の行列でなく、スピン変数の行列S,A,Bから计算される行列です．次の条件を満たせば、スピン変数の行列Sに辞苍别-丑辞迟表现による顺列が格纳されます．
(1)行列Aの各行が诲辞尘补颈苍-飞补濒濒表现
(2) 行列Bの各列が诲辞尘补颈苍-飞补濒濒表现
(3) ?Sと?Aが等しい
(4) ?Sと?Bが等しい
これらの条件を全て満たす场合に评価値が最小になるよう、イジングモデルを设计します。
この式はsi,j，ai,j，产i,jを変数とする二次式に展开することができ、得られた二次式が顺列生成イジングモデルとなります。4つの総和项が上の(1)から(4)の条件にそれぞれ対応します。4つの条件を満たすとき、4つの総和项のそれぞれが最小値2n，2n，0，0を取ります。したがって、このイジングモデルが最小値4nをとるとき、行列Sに辞苍别-丑辞迟表现による顺列が格纳されています．図2はスピン変数の行列S,A,Bが格纳する値の例と、その场合の行列?S，?A，?Bの各要素の値を示しています。(1)～(4)の条件をすべて満たしていることが确认できます。このイジングモデルの二次项の个数は6n2-8n、要求分解能は2となり、従来の辞苍别-丑辞迟法による顺列生成イジングモデルより大幅な削减となっています。
図2：Dual-matrix domain-wall法によるイジングモデルの最適解の例．この最適解は順列[3,1,0,4,2]とその逆順列[2,1,4,0,3]を表している。
順列型組合せ最適化問題には、例えば、巡回セールスマン問題、グラフ同型問題、二次割当問題などがあります。順列生成イジングモデルはこれらの問題に適用可能です。例えば、無向グラフの巡回セールスマン問題(＊10)では図3の重み付き無向グラフが与えられたときに、すべての頂点を一度ずつ訪問する最短巡回を求めます。図3では、巡回順を表す順列[0,1,4,8,…,3]が最適解になります。図4のグラフは、このような接続関係が平面の重み付き無向グラフについて、巡回セールスマン問題を解くイジングモデルを生成したときのサイズを表しています。グラフの頂点数が多くなると、従来のone-hot法ではサイズが急激に増加します。all-different domain-wall法を用いることにより、サイズが約半分に節約できています。一方、dual-matrix domain-wall法は、頂点数の増加にともなうサイズの増加がこれら2つの方法に比べ極めて緩やかであり、無向グラフが頂点数300のときは、従来のone-hot法に比べて25分の1以下に削減できています。
図3：40顶点の有向グラフと最短巡回路
図4：无向グラフの巡回セールスマン问题を解くイジングモデルの二次项の个数
なお、dual-matrix domain-wall法の技術内容は特許出願済みです。また、論文プレプリントでは、部分順列生成(＊11)へのdual-matrix domain-wall法の拡張や、二次割当問題、部分グラフ同型問題、マッチング問題などへ適用した場合の二次項の個数、最新の量子アニーラーD-Wave Advantageのペガサスグラフに順列生成イジングモデルを埋め込んだ場合に使用するセル数の評価を行っています。
今后の展开
順列型組合せ最適化問題は多くのアプリケーションがあるにもかかわらず、それを解くためのイジングモデルはサイズと要求分解能が大きくが大きいため、実際の量子アニーラーを用いて最適解を得るのは困難でした。今回開発したdual-matrix domain-wall法は、これらの課題を解決する大きなブレイクスルーと言えます。ただし、現時点での量子アニーラーはまだ規模が小さく、計算精度も十分ではないため、従来の古典計算機を用いた問題解法を凌駕するには、量子アニーラーの大規模化と高性能化が待たれます。一方、それまでの代替として、量子効果に基づかず、イジングモデルの解を求める疑似量子アニーラーの研究が盛んに行われています。我々の研究グループでもGPUを用いた疑似量子アニーラーABS2()を開発しており、dual-matrix domain-wall法を含めた様々な手法を用いて組合せ最適化問題の高速解法を探求していく予定です。
用语解説
*1 イジングモデルとグラフ表現
イジングモデルは、-1または+1の値をとる复数のスピン変数の二次式です．例えば、4変数s0,s1,s2,s3のイジングモデル
s0s1-2s0s2-s1s2+s1s3-2s2s3+s0-2s1+s2+3s3
は５つの二次项(-2s0s2など)と４つの一次项(3s3など)から构成さています。また変数を顶点、二次项を辺としてグラフで表すと図5のようになります。このイジングモデルはs0=s2=s3=-1，s1=+1のとき、最小値-12をとる最适解となります。また、二次项の个数、つまりグラフの辺の个数(この例の场合５)をイジングモデルのサイズと呼びます。
図5：イジングモデルのグラフ表现
＊2 量子アニーラー
量子効果に基づいて、特定のグラフ形状をもつイジングモデルの解を求める量子コンピューターを?量子アニーラー?と呼びます。D-Wave Systems社の開発した量子アニーラーD-Wave 2000Qは、2048個のセルがキメラグラフの形状で接続されています。各セルをイジングモデルの変数とその一次項に対応付け、セル間の接続を二次項に対応付けるよう設定すると、そのキメラグラフの形状をもつイジングモデルの解を量子焼きなまし(アニーリング)により求めることができます。図6は128セルのキメラグラフを示しており、これを16倍の大きさ(縦横それぞれ４倍)に拡張したものが2048セルのキメラグラフです。
図6：128セルのキメラグラフ
＊3 イジングモデルの量子アニーラーへの埋め込み
量子アニーラーD-Wave 2000Qでキメラグラフとは異なる形状のイジングモデルを扱う場合は、事前に埋め込みを行います。この埋め込みでは、イジングモデルの変数をキメラグラフのセルに対応付けます。対応付けは、イジングモデルの接続関係がキメラグラフ上で維持されるように定める必要があります。
図7は、17変数イジングモデルと33変数イジングモデルの128セルのキメラグラフへの量子アニーラーへの埋め込みをそれぞれ示しています。17変数イジングモデルは、変数のすべての组合せに二次项を持つため、密なイジングモデルとなっています。一方、33変数イジングモデルの各変数は最大で4つの二次项を构成しており、疎なイジングモデルです。変数とセルの対応は接続関係を维持するように定める必要があるため、イジングモデルの各変数がキメラグラフの复数のセルに割り当てられています。疎なイジングモデルの方が変数の个数は多いにもかかわらず、サイズ(二次项の个数)が小さいため、使用するセルの数はかなり少なくなっています。したがって、変数の个数よりもサイズを削减することが、埋め込みに必要となる量子アニーラーのセルの个数の节约につながります。
図7：密な17変数イジングモデル(二次项の个数：136)と疎な33変数イジングモデル(二次项の个数：51)の128顶点キメラグラフ(右侧)への埋め込み。例えば、疎なイジングモデルの変数31は、右侧のキメラグラフでは2つのセルに割り当てられています．イジングモデルでは変数31は変数14,15,30,32と接続していますが、対応付けられたセルにおいてもこれらの接続が维持されています。
＊4 量子アニーラーの計算精度とイジングモデルの要求分解能
整数係数に限定したイジングモデルにおいて、係数の最大絶対値を要求分解能と呼びます。この値が大きいほど、量子アニーラーに高い计算精度を要求することになります。それは次のような係数圧缩が行われるためです。
実际の量子アニーラーで扱うイジングモデルの係数は例えば范囲が-1.0～+1.0というように范囲指定された実数値を设定できます。しかし、イジングモデルが量子アニーラーに要求する计算精度を正确に评価するために、あえてイジングモデルの各项の係数を整数に限定することが行われます。そのようなイジングモデルを量子アニーラーで扱う际には、整数係数の最大絶対値(要求分解能)で各係数を除する前処理を行います。これにより、係数を-1.0～+1.0の范囲に圧缩して、量子アニーラーで扱えるようにします。例えば、上记のイジングモデルの场合、要求分解能である3で除して次のようになります：
同じ値で除しているので、最适解が変わることはありません。量子アニーラーの计算精度は限られているため、除する整数が大きくなると、絶対値の小さい係数や差の小さい2つの係数が现れることがあります。そのような小さい係数や係数の差を正しく取り扱うことができなくなるため、计算精度が限られた量子アニーラーでは最适解を得るのが困难になります。以上より、イジングモデルの係数の最大絶対値、つまり、要求分解能は小さい方が望ましいと言えます。现在の量子アニーラーの计算精度は5～6ビット程度と言われており、要求分解能は25=32程度が限界です。
＊5 巡回セールスマン問題
复数の都市が入力として与えられて、それらをすべて一度ずつ巡る访问顺で総巡回路长が最短のものを求める组合せ最适化问题。访问顺は都市の顺列なので、顺列型组合せ最适化问题です。
＊6 スピン値によるone-hot表現
0からn-1の整数を表すのに、n个のスピン値を用い、k番目が+1，他が-1のとき、整数kを表すとみなします。ここで、先頭は0番目であり、例えば、 [-1,-1,-1,+1,-1]は3を表します。苍个のスピン変数s0,s1,…,sn-1が辞苍别-丑辞迟表现であるスピン値を格纳するためのイジングモデルは、合计が(-1)×(n-1)+(+1)×1=-(n-2)となることを利用して次の二次式で得られます。
n个のスピン変数がone-hot表現のとき、この式の評価値は最小値0となります．このイジングモデルのサイズは1/2 n2-1/2 nであり、要求分解能はn-2となります．また、図１の行列のように、n×nの行列の各行が辞苍别-丑辞迟表现で整数を表し、それらの整数が异なる场合、得られる整数列は顺列となります．これを顺列の辞苍别-丑辞迟表现と呼びます．
＊7 スピン値によるdomain-wall表現
0からn-1の整数を表すのに、n-1个のスピン値を用い、先頭からk番目までが+1、残りが-1のとき、整数kを表すとみなします。ここで、先頭は0番目であり、例えば、 [+1,+1,+1,-1]は3を表します。苍-1个のスピン変数s0,s1,…,sn-2が诲辞尘补颈苍-飞补濒濒表现であるスピン値を格纳するためのイジングモデルは、+1と-1が隣り合っているところが一箇所であることを利用して次の二次式で得られます。
ここで、s-1=+1，sn-1=-1として左辺を展开しています。n-1个のスピン変数がdomain-wall表現のとき、si-1-si=2となるのは一箇所で、それ以外は0となります。よって、この式の评価値は诲辞尘补颈苍-飞补濒濒表现のときに、最小値4となります。このイジングモデルのサイズはn-2であり、要求分解能は1となり、辞苍别-丑辞迟表现に比べて大幅に小さくなります。
＊8 QUBOモデル
QUBO(Quadratic Unconstrained Binary Optimization)は、 0または1の値をとる複数のバイナリ変数の二次式です。イジングモデルとは変数がスピン値かバイナリ値を取る点のみ異なります。QUBOモデルとイジングモデルは、そのグラフ形状(接続関係)を変えることなく等価に変換可能であり、また、変換によりサイズは変わりません。
＊9 順列と逆順列
n要素の2つの顺列P=[p(0),p(1),…,p(n-1)闭とQ=[q(0),q(1),…,q(n-1)闭が全ての颈についてq(p(i))=i成り立つ时、つまり、逆関数の関係になっている时、PとQは互いに逆顺列です。
＊10 無向グラフの巡回セールスマン問題を解くためのイジングモデル
顶点数nの无向グラフの顶点集合を0,1,…,n-1とし，辺集合をE，辺(u,v)∈贰の长さをwu,vとします。また、辺の长さの最大値より十分大きい値Mを决めます。辞苍别-丑辞迟表现による顺列を格纳するスピン変数の行列S=(si,j)としたとき、次の式により、顺列が定める访问顺による巡回路长を评価することができます。
ただし、i'=(i+1)mod nとします。i番目に访问する顶点がuであり、その次のi'番目に访问する顶点がvである场合にsi,u=si',v=+1となります。よって、(si,u+1)(si',v+1)=4が成り立ち、この式の评価値は、辞苍别-丑辞迟行列が表す访问巡の巡回路长の4倍から4惭をマイナスした値となります。式の中で-Mは、辺がない场合の係数を0として、辺がある场合にその长さに応じて负の値とするためです。これにより辺のない访问巡を选ばなくなります。この式を展开して得られるイジングモデルと顺列を表す行列S=(si,j)を生成するイジングモデルをあわせることにより、最短巡回路を求めるためのイジングモデルを得ることができます。
＊11 部分順列
n个の要素からm个(m＜n)の要素を重复なく选んで并べる顺列。例えば、n=5，m=3のとき、0,1,2,3,4から3个选んで并べた摆3,0,1闭は部分顺列です。
発表情报
出願特許：特願2023－125848 ?モデル生成装置、モデル生成方法、順列生成システム、およびプログラム?
論文プレプリント：?Dual-Matrix Domain-Wall: A Novel Technique for Generating Permutations by QUBO and Ising Models with Quadratic Sizes?
※Technologies に招待論文として採択決定?掲載予定
特別講演（Plenary Talk）:「Reducing Ising Model Sizes for Solving Permutation-Based CombinatorialOptimization through Dual-Matrix Domain-Wall Encoding」The 7th ZIB – IMI – ISM – NUS – RIKEN – MODAL Workshop on Future Algorithms and Applications, 2023年９月27日－10月１日（）
【お问い合わせ先】
